摘 要

本文使用正弦函数和余弦函数解析构造任意长度的紧支集正交小波滤波系数。首先给出了对时(k个参数)的解析结构，然后给出了N=2k时正交小波滤波器的统一构造方法。接着验证了Daubechies小波滤波器的构成参数，同时验证了一些被常用的小波分析滤波器，并这些滤波器用一组参数直接计算出来。小波滤波器的解析构造使得在应用中动态选择小波基变得极其容易，这一结果在小波理论、应用数学及模式识别等领域具有十分重要的作用。

关键词： 小波分析； 滤波器； 三角函数； 解析构造

Abstract:

This article uses the sine and cosine functions of any length Analytic Construction of compactly supported orthogonal wavelet filter coefficients. Firstly pair (k parameter)analytic structure, and then when given N = 2k unified wavelet filter construction method. and then verify the composition parameters of the Daubechies wavelet filter, and to verifysome of the wavelet analysis filter is used, and these filters with a set of parameters directly calculated. Analytic Construction of Wavelet Filter allows dynamic selection in the application of wavelet becomes extremely easy, which results in wavelet theory, applied mathematics and pattern recognition has a very important role.
Key words: wavelet analysis; filter; trigonometric functions; Analytic Construction

目录

1. 引言及问题提出 - 3 -

1.1 背景介绍 - 3 -

1.2 紧支集上正交小波基条件 - 3 -

2. N=1、N=2滤波器的解析构造 - 5 -

3. 滤波器的解析构造 - 8 -

3.1 时的一般结论 - 8 -

3.2 对的特殊情形 - 12 -

4. 一般滤波器(N=2k)的解析构造 - 14 -

4.1 分解方法定义 - 14 -

4.2 一般性结论 - 16 -

4.3 N=1，2，3，4，…的计算讨论 - 22 -

5. 小波滤波器及参数角计算实例 - 23 -

6. 用C 程序计算参数角表滤波器系数 - 25 -

致谢 - 35 -

[参考文献] - 36 -

微分方程的小波法研究

1. 引言及问题提出

1.1 背景介绍

小波分析与应用已十分深入，特别是紧支集上的小波变换已广泛应用在信号处理，如图像压缩、声音处理、文字识别等领域，但小波基或小波滤波器的构造却是一件十分艰苦的工作，不仅多尺度方程：

（1）

复杂，多尺度分析的生成元也很不好寻找，其中也就是要寻找的小波滤波系数。著名数学家Daubechies对较小的N，已给出了部分小波滤波系数.在信号自适应处理中，有必要弄清这些系数的来历，以及怎样选择适合特殊信号的小波基是十分重要的。众所周知，小波基的构造取决于小波基滤波系数的构造，由于在紧支集上正交小波基滤波系数只有有限个不为零(设为2N)，它们在数字计算中特别有用，因此本文仅局限于紧支集上正交小波基的研究[2~9]

1.2 紧支集上正交小波基条件

(2)

(3)

为行正交矩阵 (4)

实际上还有一个条件：

(5)

条件(2)应改为：

(关于式(3)，(4)，(5)的最大值)

因为在实际应用中 是一个低通滤波器，当一组常数信号通过它时(卷积)能量和应最大，这时小波二分之一抽样才具有最好的信息压缩效率。(4)中的行正交实际上是卷积

(q=1,2,3…) ；

成立.其中当i 2q超过2N-1 时=0

小波滤波系数计算比较困难，在应用中要动态选择小波基更难。找出满足这一结果的小波滤波器系数将对小波理论及应用、模式识别等研究领域产生极大的作用。本文的主要目的在于找出满足小波正交性条件滤波器的解析形式，并确定其有没有统一的形式Daubechies小波及Coifman 小波、Beylkin 小波等均满足(2)~(4)条件。在很多实际应用中。(2)，(3)可以不满足，如Vaidyanathan小波.本文我们将讨论它们的解析构造问题.

2. N=1、N=2滤波器的解析构造

当N=1时，滤波器有两个系数，因为(5)，并记参数角为我们可设：

即可，显然若(2)，(3)成立，则，此时即Haar小波.反过来对任意参数，(4)，(5)自然成立 但(2)，(3)不成立.

定理1 对N=2时满足正交小波基条件(2)，(3)，(4)，(5)的小波滤波系数

的充要条件是存在参数角使得下列等式

成立

当 得到

这就是所谓N=2时Daubechies的小波滤波系数。显然该组公式还可以给出无穷多种类似的滤波系数

证明1)充分性 此时很容易验证(2)，(3)，(5) 而N=2时(4)的正交性条件变为：

将上述公式代入

显然成立,证毕

2) 必要性 根据N=2时(4) 的正交性条件：；

不妨改为，必然存在一参数角，使

并不妨设

又由条件( 5) 即

得到：

因此设，即

显然此时

由条件( 3) 有即得到

此时取值为：两种情形，又

它取最大值，只需取满足：

且最大值为

此时自动成立，因此(2)，(3)条件满足了,不妨取n=0，必要性得证。以下我们忽约或带来的符号影响，只考虑一个主值的作用,至此定理1得证。但要构造N=3，4，5…，如果用以上推导方法就很困难了,但很容易想到： 对任意自然数N 的小波基滤波系数的总和满足如下形式：

且若(3)成立必然要求，此处是一组参数角的和；当N=2时

它们分别是偶数项与奇数项因此完全有理由认为：与